Kansen en grenswaarden berekenen met de tabel van de standaard normale verdeling.

Kansen berekenen

We gebruiken de tabel van de standaardnormale verdeling, waarbij μ = 0 en  σ =1. Als kansvariabele nemen we hier altijd de letter z .

Voorbeeld

Gegeven is weer de groep van 18 jarige jongens uit 1968 met een gemiddelde lengte 172,07 cm en standaardafwijking 5,686

Hoe berekenen we nu P( x < 170) met behulp van de normale verdeling als de kansvariabel x = de lengte van een willekeurig gekozen jongen?

Allereerst is x normaal verdeeld met μ de gemiddelde lengte 172,07 en σ de standaardafwijking 5,686. De gevraagde kans is gelijk aan de oppervlakte onder de grafiek links van de lijn x=170. Voor de berekening hebben we echter de beschikking over een tabel met μ = 0.
We gaan dus over op de variabele y = x - 172,07 , met μ  = 172,07 - 172,07 = 0 en σ = 5,686, waarmee we de volgende grafiek krijgen. Hier moeten we nu de oppervlakte berekenen links van de lijn y = 170 - 172,07 = -2,07 onder de grafiek. Ook nu kunnen we nog geen gebruik maken van de standaardnormale tabel, immers dan moet ook σ = 1.
Om dit te krijgen voeren we de volgende transformatie uit:    Nu heeft de kansvariabele z als verwachting 0 en als standaardafwijking 1, zodat we de tabel kunnen gebruiken. We bepalen met de tabel de oppervlakte links van de lijn

Samenvattend:

In de tabel vind je alleen linkeroverschrijdingskansen maar

P(z<0,36) = 0,6406.

P(z<-0,36 )= 1-0,6406 = 0,3594

Deze kans komt goed overéén met de gevonden kans 0,358 uit de tabel met 5245 jongens.

Grenswaarde bepalen

Voorbeeld

In een bedrijf is gebleken dat de omzet per week een normale verdeling volgt met gemiddelde € 150.000 en standaardafwijking € 12.000.
Welke omzet per week kan de directeur van het bedrijf noemen, zodat deze omzet minimaal gehaald wordt, met een zekerheid van 90%?

Oplossing

Gegeven is nu dat bij een normale verdeling met μ de gemiddelde omzet 150000 en σ de standaardafwijking 12000. P(x>k) = 0,90. We moeten de waarde k berekenen.

Bij overgang naar de standaardnormale verdeling krijgen we

P(z>(k-150000)/12000)=0,9 Opzoeken in de tabel geeft
(k-150000)/12000=-1,28
k=134640

Dus 90% van de weken is de omzet groter dan €134640.

Je kunt ook de tabel met z-waarden gebruiken.