Lineair programmeren

 

Probleem

Een bedrijf produceert twee producten met de merknamen Arabic en Baltic.
De contributiebijdragen voor Arabic is € 5 per eenheid en voor Baltic € 4 per eenheid.

Voor zowel Arabic als Baltic zijn de grondstoffen Xeneen en Ypreen nodig.
Van Xeneen is 16000 kg en van Ypreen 12000 kg beschikbaar per periode.

Voor de productie van een eenheid Arabic is 8 kg Xeneen en 2 kg Ypreen nodig,
terwijl dat  voor Baltic 4 kg Xeneen en 6 kg Ypreen is.

De totaal beschikbare arbeid is 15000 minuten per periode,
terwijl voor de productie van een eenheid Arabic 5 minuten en voor Baltic 6 minuten nodig zijn.

Het bedrijf streeft naar een maximale totale contributiebijdrage per periode.

De vraag is nu wat is de optimale productiesamenstelling (aantal eenheden Arabic en Baltic) waarbij
de maximale contributiebijdrage wordt bereikt. Verder willen we natuurlijk weten wat die maximale
contributiebijdrage dan is.

Oplossing

Om dit probleem te kunnen oplossen moeten we eerst een wiskundig model opstellen.

We beginnen altijd met het opstellen van de doelfunctie, hier de totale contributiebijdrage. Deze moeten we dus eerst in een formule vangen.

Als het geproduceerde aantal eenheden Arabic 500 is en dat aantal voor Baltic 600 is, dan kunnen we de contributiebijdrage (C) als volgt berekenen.

C = 5 * 500 + 4 * 600

In het algemeen dus

C = 5 * aantal eenheden Arabic + 4 * aantal eenheden Baltic

Wat we afkorten tot

C = 5a + 4b                 met       a = aantal eenheden Arabic

                                               b = aantal eenheden Baltic

Nu kunnen we ook de voorwaarden opstellen, immers de productie wordt beperkt door de voorraad grondstoffen en arbeid. We krijgen dus

Xeneen:            8a + 4b ≤ 16000

Ypreen:            2a + 6b ≤ 12000

Arbeid:             5a + 6b ≤ 15000

 

Verder zijn dan nog de niet negatief voorwaarden van belang:

a ≥ 0

b ≥ 0

Het hele model bijelkaar:

Doelfunctie:

Maximaliseer: C = 5a + 4b

Voorwaarden:

Xeneen:          8a + 4b ≤ 16000

Ypreen:           2a + 6b ≤ 12000

Arbeid:            5a + 6b ≤ 15000

a ≥ 0

b ≥ 0

De lijnen die de grens van de voorwaarden bepalen, kunnen we tekenen en door
contra arceren (deel dat niet toegelaten is wegstrepen) het toegelaten gebied aangeven.

In onderstaande figuur zien we het toegelaten gebied (niet gearceerd!) behorende bij de voorwaarde Xeneen.

 

Nu tekenen we in dezelfde grafiek  de lijn behorende bij de voorwaarde Ypreen en strepen het niet toegelaten gebied weg.

 

Tot slot tekenen we de voorwaarde behorende bij arbeid in de grafiek. Het toegelaten gebied is dus niet gearceerd.

 

Omdat de maximale contributiebijdrage nu optreedt in één van de hoekpunten van het toegelaten gebied kunnen we de optimale productiesamenstelling op twee manieren bepalen.

1. Met niveaulijnen.
   
   In het punt (0,0) geldt altijd C = 0.
   Als we een ander punt nemen, bijvoorbeeld (1200, 1000) dus als a = 1200 en b = 1000 dan vinden we C = 10000.
   
   We kunnen nu alle punten met C = 10000 tekenen door de lijn 5a + 4b = 10000 te tekenen. De punten, op deze lijn in het toegelaten gebied, geven de mogelijke productiesamenstellingen aan met een C = 10000.

            Omdat de niveaulijnen bij verschillende contributiebijdragen steeds evenwijdig zijn, geldt dat de maximale optreedt in het snijpunt van de lijnen
 

De maximale C = 12142.86 per periode.

2.         Alle hoekpunten berekenen.

Omdat het toegelaten gebied in dit voorbeeld weinig hoekpunten heeft, kunnen we ook alle hoekpunten berekenen en de daarbij behorende C bepalen.

We vinden:
(0, 0) met C = 0
(0, 2000) met C = 8000
(2000, 0) met C = 10000
(1000;1666.67) met C = 11666.67
(1285.71;1428.57) met C = 12142.83

 Let op dat  je deze punten wel moet berekenen, aflezen is niet voldoende.

Conclusie

Het bedrijf heeft een maximale contributiebijdrage van 12142.86 euro per periode bij een
productie van 1285.71 eenheden Arabic en 1428.57 eenheden Baltic.