Exponentiële vergelijkingen

Jaren geleden heeft mevrouw Jak een bedrag op de bank gezet tegen 6% samengestelde interest per jaar.
Haar kapitaal is op 1 januari 1995 aan­gegroeid tot €10000. Zij is niet van plan het kapitaal de komende jaren te gebruiken.

Na hoeveel jaar (gerekend vanaf 1 januari 1995) is het kapitaal van mevrouw Jak gelijk aan €24500?

We hebben gezien dat de exponentiële groeifunctie (die ook groeimodel wordt genoemd) gegeven wordt door  

met t=0 op de begintijd (1 januari 1995)

Gevraagd wordt voor welke t geldt

                       

We moeten dus de volgende exponentiële vergelijking oplossen

                       

Een benadering van de oplossing kunnen we vinden door te proberen:

                       

Het gevraagde getal t zit tussen 15 en 16.

                       

De t zit tussen 15,3 en 15,4.

Het bovenstaande is veel werk. Het getal t dat we zoeken hebben wiskundi­gen een naam gegeven. Dit getal noemen we:

                                     

de 1,06^de logaritme van 2,45

Het getal 1,06 noemen we het grondtal van de logaritme.

Op de rekenmachine vinden we de toets met log x, waarmee bedoeld wordt ¹⁰ log x.

Met behulp van de formule

                                  

kunnen we t berekenen.

Als we g = 10, a = 1,06 en b = 2,45  nemen, dan krijgen we

                       

Dus t = 15,38 jaar.

In het algemeen: